若实数a，b，c成等差数列，求直线族ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得线段中点的轨迹方程。

admin2015-06-14 81

问题若实数a，b，c成等差数列，求直线族ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中点的轨迹方程。

选项

答案解法一：(几何法)∵实数a，b，c成等差数列，∴2b-a-c=0，直线族可化为ax+by+2b-a=0，必过点A (1，-2)，点A在圆x²+y²=5上。根据垂径定理可知，被圆截得线段中点B与圆x²+y²=5的圆心O(0，0)连线必然垂直于直线AB，所以B点在以OA为直径的圆上(直角所对的弦为直径)。所以B在以[*]为圆心，以[*]为半径的圆上，其轨迹方程为：[*]。解法二：(代数法)由题意，直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段的中心即为直线ax+by+c=0①与直线bx-ay=0②交点。设该点坐标为(x，y)，联立方程①②，得[*]；且该点在两条直线上，满足[*] 又∵实数a，b，c成等差数列，∴2b-a-c=0，则[*]，即：[*]即[*]为直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨线方程。

解析

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