[2016年] 设函数y(x)满足方程y’’+2y’+ky=0，其中0＜k＜1．证明：反常积分∫0+∞y(x)dx收敛；

admin2019-04-08 23

问题 [2016年] 设函数y(x)满足方程y’’+2y’+ky=0，其中0＜k＜1．
证明：反常积分∫₀^+∞y(x)dx收敛；

选项

答案y’’+2y’+ky=0的特征方程为λ²+2λ+k=0，其特征根为 [*] (因0＜k＜1)，故方程的通解为y(x)=C₁e^λ₁x+C₂e^λ₂x．又因 ∫₀^+∞y(x)dx=∫₀^+∞(C₁e^λ₁x+C₂e^λ₂x)dx =[*] 故∫₀^+∞y(x)dx收敛．

解析

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考研数学一

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