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(u,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ. (Ⅰ)若,试证明u仅为φ与θ的函数; (Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.
(u,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ. (Ⅰ)若,试证明u仅为φ与θ的函数; (Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.
admin
2016-10-20
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问题
(u,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ.
(Ⅰ)若
,试证明u仅为φ与θ的函数;
(Ⅱ)若
,试证明u仅为r的函数.
选项
答案
(Ⅰ)按函数的复合关系可得 [*] 由已知条件即得[*],所以u仅为φ和θ的函数. (Ⅱ)设[*],则按函数的复合关系可得 [*] 所以u不依赖于φ. 注意到中间变量z不依赖于自变量θ,所以 [*] 由已知条件知上式右端为0,所以u也不依赖于θ,综上即得u仅为r的函数.
解析
这是三个中间变量、三个自变量的复合函数,变量间的依赖关系如下:
为证明结论(Ⅰ),只需证明
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考研数学三
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