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  3. 设A，B是二随机事件；随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

设A，B是二随机事件；随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

admin2020-01-12  42
问题 设A，B是二随机事件；随机变量
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．
选项
答案由题设，记P(A)=p1，则P(X=1)=p1，从而P(X=-1)=1-p1． 记P(B)=p2，则P(Y=1)=p2，且P(Y=-1)=1-p2． 因此有E(X)=p1-(1-p1)=2p1-1，E(y)=p2-(1-p2)=2p2-1． 由于X，Y的取值只能为1和-1， 从而P(XY=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=-1，Y=-1) =P(AB)=P(AB)=2P(AB)-p1-p2+1， P(XY=-1)=1-[2P(AB)-p1-p2+1]=1-2P(AB)+p1+p2-1=p1+p2-2P(AB)， 所以E(XY)=2P(AB)-p1-p2+1-[p1+p2-2P(AB)] =2P(AB)-p1-p2+1-p1-p2+2P(AB)=4P(AB)-2p1-2p2+1， 因此cov(X，Y)=E(XV)-E(X)*E(Y)=4P(AB)-2p1-2p1+1-(2p1-1)(2p2-1) =4P(AB)-2p1-2p2+1-4p1P2+2p1+2p2-1 =4P(AB)-4p1P2=4[P(AB)-P(A)P(B)]， 显然cov(XY)=0[*]P(AB)=P(A)P(B)， 即X与Y不相关的充要条件是A与B相互独立．
解析
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考研数学三

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