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  3. 设R是集合上的关系，证明或否定下述论断： (1)若R是自反的，则s(R)、t(R)是自反的。 (2)若R是对称的，则r(R)、t(R)是对称的。 (3)若R是传递的，则r(R)、s(R)是传递的。

设R是集合上的关系，证明或否定下述论断： (1)若R是自反的，则s(R)、t(R)是自反的。 (2)若R是对称的，则r(R)、t(R)是对称的。 (3)若R是传递的，则r(R)、s(R)是传递的。

admin2009-07-15  19
问题 设R是集合上的关系，证明或否定下述论断：
(1)若R是自反的，则s(R)、t(R)是自反的。
(2)若R是对称的，则r(R)、t(R)是对称的。
(3)若R是传递的，则r(R)、s(R)是传递的。
选项
答案①对任意的x∈A，因为R是自反的，所以＜x，x＞正R。又因为Rs[*](R)，所以＜x，x＞∈s(R)，即s(R)是自反的。 ②对任意的x∈A，因为R是自反的，所以＜x，x＞∈R。又因为Rt[*](R)，所以＜x，x＞∈t(R)，即t(R)是自反的。 (2)①对任意的x，y∈A，若＜x，y＞∈r(R)=R∪IA，则有＜x，y＞∈R或＜x，y＞∈IA。 若＜x，y＞∈R，则由R是对称的，所以＜y，x＞∈R。又因为Rr[*](R)，所以＜y，x＞∈r(R)。 若＜x，y＞∈IA，则x=y，即有＜y，x＞∈IA。又因为IAr[*](R)，所以＜y，x＞∈r(R)。 无论是哪种情况，都有＜y，x＞∈r(R)，即r(R)是对称的。 ②对任意的x，y∈A，若＜x，y＞∈t(R)，则存在i∈{1，2，3，…，n…}，使得＜x，y＞∈Ri。由复合关系的定义知：存在c1，c2，…，ci-1，使得＜x，c1＞∈R，＜c1，c2＞∈R，…，＜ci-1，y＞∈R。因为R是对称的，所以有：＜y，ci-1＞∈R，＜ci-2，ci-3＞∈R，…，＜c1，x＞∈R。由复合苯系的定义知：＜y，x＞∈Ri，即有＜y，x＞∈t(R)，所以t(R)是对称的。 (3)①对任意的x，y，z∈A，若＜x，y＞∈r(R)=R∪IA，＜y，z＞∈r(R)＝R∪IA，则有(＜x，y＞∈ R或＜x，y＞∈IA)并且(＜y，2＞∈R或＜y，2＞∈IA)若＜x，y＞∈R且＜y，z＞∈R，则由R是传递的，所以＜x，z＞∈R。 若＜x，y＞∈IA或＜y，z＞∈IA，则有x=y或y＝z。又因为IAr[*](R)， 则由＜x，x＞∈r(R)及＜x，z＞∈r(R)，有＜x，2＞∈r(R)。 则由＜x，2＞∈r(R)及＜z，z＞∈r(R)，有＜x，2＞∈r(R)． 所以＜x，2＞∈r(R)。 无论是哪一种情况，都有＜x，2＞∈r(R)，即r(R)是传递的。 ②结论不一定成立。
解析
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