一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时).已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否相互独立?

admin2019-05-08  26

问题 一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时).已知X和Y的联合分布函数为
         
问X与Y是否相互独立?   

选项

答案解一 设X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y),则 [*] 故当x≥0,y≥0时,有 FX(x)FY(y)=(1-e-0.5x)(1-e-0.5y)=1-e-0.5x-e-0.5y+e-0.5(x+y)=F(x,y). 而当x>0或y<0时,有 Fx(x)FY(y)=0=F(x,y), 所以对任意x,y,均有F(x,y)=Fx(x)FY(y),则X与Y独立. 解二 先求出(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y).当x≥0,y≥0时,有 [*] 于是有 [*] 因而[*]同理,可求得[*] 易验证对x≥0,y≥0,均有 f(x,y)=fX(x)fY(y). 对x<0或y<0,也有f(x,y)=fX(x)·fY(y)=0,故对任意x,y均有f(x,y)=fX(x)fY(y),由命题3.3.5.1(1)知,X与Y相互独立. 注:命题3.3.5.1 (1)对任意二维随机变量(X,Y),有X,Y相互独立[*]对任意x,y,有F(x,y)=FX(x)FY(y);X,Y相互独立[*]对任意x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y).

解析
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