设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2019-03-21 29

问题设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ₁，λ₂，λ₃，对应的特征向量依次为α₁,α₂,α₃，令β=α₁+α₂+α₃，证明：β，Aβ，A²β线性无关．

选项

答案因为Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，则Aβ=A(α₁+α₂+α₃) =Aα₁+Aα₂+Aα₃ =λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，A²β=A(Aβ) =A(λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃) =λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃．设存在常数k₁，k₂，k₃，使k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0，进而得(k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．由于α₁,α₂,α₃线性无关，于是有[*]其系数行列式[*] 故k₁=k₂=k₃=0，所以，β，AB，A²β线性无关．

解析本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．

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考研数学二

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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

考研数学二

设f(x)在(a，b)内可导，且x0∈(a，b)使得f’(x)又f(x0)＞0(＜0)，(如图4．13)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．

设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’－(x0)，但f’+(x0)≠f’－(x0)，说明这一事实的几何意义．

设y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0确定了函数t=t(x，y)，求．

设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．

求I=，D由曲线x2+y2=2x+2y－1所围成．

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(

设矩阵求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设f(χ)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝[∫01f(χ)dχ]2．

把第1行的(一x)倍分别加到第2，3，…，n行，得[]当x≠0时，再把第j列的[]倍加到第1列(j=2，…，n)，就把Dn化成了上三角行列式[*]当x=0时，显然有Dn=0，所以总有Dn=(一1)n-1(n—1)xn-2．

设一阶非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1，y2，若αy1+βy2也是该方程的解，则应有α+β=____________．

下列哪种单体适合进行离子型聚合反应?()

有关肾病综合征患者血浆白蛋白降低的原因，下列说法错误的是

汉防己的功效是()。

关于双代号网络计划，下列说法正确的是()。

下列各项应对风险的措施中，属于风险转移的是()。

20周岁的张某觉得自己名字太俗气，到派出所申请作了更改。其父知道后很生气，遂通过在派出所工作的朋友又将张某的名字改了回来。父亲的行为侵犯了张某的()。

你认为，如何才能走出一条适合我国国情的养老道路?

Thenuclearageinwhichthehumanraceisliving,andmaysoonbedying,beganforthegeneralpublicwiththedroppingofana

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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(

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把第1行的(一x)倍分别加到第2，3，…，n行，得[]当x≠0时，再把第j列的[]倍加到第1列(j=2，…，n)，就把Dn化成了上三角行列式[*]当x=0时，显然有Dn=0，所以总有Dn=(一1)n-1(n—1)xn-2．