设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2019-03-21 27

问题设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ₁，λ₂，λ₃，对应的特征向量依次为α₁,α₂,α₃，令β=α₁+α₂+α₃，证明：β，Aβ，A²β线性无关．

选项

答案因为Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，则Aβ=A(α₁+α₂+α₃) =Aα₁+Aα₂+Aα₃ =λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃，A²β=A(Aβ) =A(λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃) =λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃．设存在常数k₁，k₂，k₃，使k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0，进而得(k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．由于α₁,α₂,α₃线性无关，于是有[*]其系数行列式[*] 故k₁=k₂=k₃=0，所以，β，AB，A²β线性无关．

解析本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/WJLRFFFM

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

考研数学二

设f(x)是以T为周期的函数，则函数f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期是[]

二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处两个偏导数f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)存在是f(χ，y)在该点连续的【】

设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：(Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥α＞0(x＞x0)，则=+∞；(Ⅱ)若=A＞0，则=+∞．

判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0－δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的

设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．

设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明：(b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．

设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是AX=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是

求微分方程的满足初始条件y(1)=0的特解．

计算行列式．

A．4～5日B．6～7日C．7～9日D．14日E．10～12日四肢手术后缝线拆除时间

男性，35岁，劳动中左小腿被重物砸伤，伤后左小腿肿痛来院。检查见左小腿高度肿胀，并有异常活动，患侧足感觉减退。为明确诊断首先的检查应该是

A、干烤法B、紫外线照射C、高压蒸气灭菌法D、巴氏消毒法E、过滤除菌法玻璃器械的灭菌常用

已知某药物口服肝脏首过作用很大，改用肌内注射后()。

下述情形中，委托方在代理期限内不可单方面终止代理行为的是()。

南宋时期出现了中兴四大诗人，其中陆游声名最著，下列诗句中不是陆游所作的是()。

下列计算机技术词汇的英文缩写和中文名字对照中，错误的是______。

Americansaregettingreadyforthebiggestsoccereventintheworld.Forthefirsttimetheworldcupsoccercompetitionwill

OnenightinApril1912,ahugenew【B1】liner,namedtheTitanic,was【B2】theAtlantic.Shewasjustaboutthemost【B3

设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

考研数学二

设f(x)是以T为周期的函数，则函数f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期是[]

二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处两个偏导数f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)存在是f(χ，y)在该点连续的【】

设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：(Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥α＞0(x＞x0)，则=+∞；(Ⅱ)若=A＞0，则=+∞．

判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0－δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的

设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．

设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明：(b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．

设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是AX=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是

求微分方程的满足初始条件y(1)=0的特解．

计算行列式．

A．4～5日B．6～7日C．7～9日D．14日E．10～12日四肢手术后缝线拆除时间

男性，35岁，劳动中左小腿被重物砸伤，伤后左小腿肿痛来院。检查见左小腿高度肿胀，并有异常活动，患侧足感觉减退。为明确诊断首先的检查应该是

A、干烤法B、紫外线照射C、高压蒸气灭菌法D、巴氏消毒法E、过滤除菌法玻璃器械的灭菌常用

已知某药物口服肝脏首过作用很大，改用肌内注射后()。

下述情形中，委托方在代理期限内不可单方面终止代理行为的是()。

南宋时期出现了中兴四大诗人，其中陆游声名最著，下列诗句中不是陆游所作的是()。

下列计算机技术词汇的英文缩写和中文名字对照中，错误的是______。

Americansaregettingreadyforthebiggestsoccereventintheworld.Forthefirsttimetheworldcupsoccercompetitionwill

OnenightinApril1912,ahugenew【B1】______liner,namedtheTitanic,was【B2】______theAtlantic.Shewasjustaboutthemost【B3

OnenightinApril1912,ahugenew【B1】liner,namedtheTitanic,was【B2】theAtlantic.Shewasjustaboutthemost【B3