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设f(χ)在[0,1]上连续,且满足∫01f(χ)dχ=0,∫01χf(χ)dχ=0,求证:f(χ)在(0,1)内至少存在两个零点.
设f(χ)在[0,1]上连续,且满足∫01f(χ)dχ=0,∫01χf(χ)dχ=0,求证:f(χ)在(0,1)内至少存在两个零点.
admin
2016-10-21
38
问题
设f(χ)在[0,1]上连续,且满足∫
0
1
f(χ)dχ=0,∫
0
1
χf(χ)dχ=0,求证:f(χ)在(0,1)内至少存在两个零点.
选项
答案
令F(χ)=∫
0
χ
f(t)dt,G(χ)=∫
0
χ
F(s)ds,显然G(χ)在[0,1]可导,G(0)=0,又 [*] 对G(χ)在[0,1]上用罗尔定理知,[*]c∈(0,1)使得G′(c)=F(c)=0. 现由F(χ)在[0,1]可导,F(0)=F(c)=F(1)=0,分别在[0,c],[c,1]对F(χ)用罗尔定理知.[*]ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得F′(ξ
1
)=f(ξ
1
)=0,F′(ξ
2
)=f(ξ
2
)=0,即f(χ)在(0,1)内至少有在两个零点.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/WBzRFFFM
0
考研数学二
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