2. 公务员
  3. 设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f＇(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f＇(x)=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)． 设函数f(x)=ln(x

设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f＇(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f＇(x)=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)． 设函数f(x)=ln(x

admin2019-06-01  28
问题 设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f＇(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)＞0，使得f＇(x)=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
设函数f(x)=ln(x)+(x＞1)，其中b为实数
(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；
(ii)求函数f(x)的单调区间．
选项
答案由f(x)=ln x+[*]，得f＇(x)=[*]．因为x＞1时，h(x)=[*]＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)． (ii)当b≤2时，由x＞l得x2－bx+1≥x2－2x+1=(x－1)2＞0，所以f＇(x)＞0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增．当b＞2时，解方程x2－bx+1=0得x1=[*]．因为x1=[*] 所以当x∈(1，x2)时，f＇(x)＜0；当x∈(x2，+∞)时，f＇(x)＞0；当x=x2时，f＇(x)=0． 从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，+∞)上单调递增． 综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，[*])，单凋增区间为([*],+∞).
解析
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