2. 考研
  3. 设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则 【 】

设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则 【 】

admin2021-01-25  28
问题 设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则  【    】
选项 A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
答案B
解析 解1  因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)．
　　解2  用排除法．若取矩阵
    则B可逆，C=AB=
    可见：矩阵c的行向量组与矩阵A的行向量组不等价；矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组不等价；矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组不等价，所以，选项(A)，(B)，(C)都不正确，因而只有选项(B)正确．
本题综合考查可逆矩阵的性质、初等变换和向量组等价等基本概念．对矩阵施行初等行变换与初等列变换，反映在矩阵的行向量组与列向量组上，有哪些不同呢?正确的结论是：
    (1)若矩阵A经初等行变换变成了矩阵C，则A的行向量组与C的行向量组等价(但A的列向量组与C的列向量组未必等价)，且A的列向量之间的线性关系与C的列向量之间的线性关系是相同的(但经初等行变换，矩阵行向量组之间的线性关系未必保持不变)．
    (2)若矩阵A经初等列变换变成了矩阵C，则A的列向量组与C的列向量组等价(但A的行向量组与C的行向量组未必等价)，且A的行向量之间的线性关系与C的行向量之间的线性关系是相同的(但经初等列变换，矩阵列向量组之间的线性关系未必保持不变)．
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考研数学三

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