计算其中Ω为半球体x2+y2+z2≤1，z≥0．

admin2020-05-02 14

问题计算

其中Ω为半球体x²+y²+z²≤1，z≥0．

选项

答案方法一利用柱面坐标计算．如图2—6—43所示，将Ω在xOy平面内投影，得圆域D：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，在D内任取一点，作平行于z轴的直线，此直线通过平面z=0穿入Ω内，通过曲面[*]穿出Ω外，于是Ω可表示为 Ω：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，[*] [*] 故 [*] 方法二利用球面坐标计算．将Ω在xOy平面内投影，得圆域，故0≤θ≤2π，在[0，2π]内任取一角，作过z轴的半平面，交Ω于[*]圆，故φ的取值范围为[*]再在[*]内任取一角，作从原点出发的射线，可得0≤r≤1，于是区域Ω可表示为Ω：0≤θ≤2π，[*]0≤r≤1，故 [*] 方法三由于平行于xOy坐标面的平面截空间区域Ω所得的平面区域D_z是一个半径为z的圆盘，因此 [*]

解析

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考研数学一

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