(98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT．求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2019-03-19 46

问题 (98年)设向量α＝(a₁，a₂，…，a_n)^T，β＝(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ＝0．记n阶矩阵A＝αβ^T．
求：(1)A²；
(2)矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案(1)由α^Tβ＝0，有β^Tα＝0．由A＝αβ^T，有 A²＝AA＝(αβ^T)(αβ^T)＝α(β^Tα)β^T＝(β^Tα)(αβ^T)＝O 即A²为n阶零矩阵． (2)设λ为A的任一特征值，χ(≠0)为对应的特征向量，则Aχ＝λχ，两端左乘A，得A²χ＝λAχ＝λ²χ，因为A²＝O，所以λ²χ＝0，又χ≠0，故λ＝0．即矩阵A的特征值全为零．不妨设向量α，β中分量a₁≠0，b₁≠0，对齐次方程组(0E－A)χ＝0的系数矩阵施行初等行变换： [*] 由此可得方程组(OE－A)χ＝0的基础解系为： α₁＝(－[*]，1，0，…，0)^T，α₂＝(－[*]，0，1，…，0)^T，…，α_n-1＝(－[*]，0，0，…，1)^T 于是，A的属于特征值λ＝0的全部特征向量为： c₁α₁＋c₂α₂＋…＋c_n-1α_n-1(c₁，c₂，…，c_n-1是不全为零的任意常数)．

解析

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考研数学三

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(98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT．求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学三

微分方程的通解是________。

证明：=anxn+an—1xn—1+…+a1x+a0。

设B是三阶非零矩阵，且AB=0，则a=________。

设f（u，υ）具有连续偏导数，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（12+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解是________。

已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。

(1)设y＝y(x)由方程ey＋6xy＋x2－1＝0确定，求y’’(0)．(2)设y＝y(x)是由exy－x＋y－2＝0确定的隐函数，求y’’(0)．

设y＝y(x)，z＝z(x)是由方程z＝xf(x＋y)和F(x，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．

曲线y＝(x－1)(x－2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．

在Access2010数据库中，数据保存在________对象中。

根据《继承法》的规定，下列哪些情形下，继承人一定丧失继承权()。

1990年12月19日和1991年7月3日，深圳证券交易所和上海证券交易所先后正式开业。()

人在明适应的过程中，感受性提高了。

【法兰西第三共和国】

一种产品的竞争优势并非长期固定在某一个特定的国家，而是从技术发明国转向生产成本较低的国家，描述这一现象的理论是()。[暨南大学2011国际商务硕士]

The1920s’advertisingmenwentwild.Atypicalexampleof"createthewantsitsoughttosatisfy"is.

NashvilleEaglesBowlingLeague"WeProduceChampions!"WeareSouthernTennessee’soldestsurvivingbowlingclub,withhundred

(98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT． 求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

考研数学三

微分方程的通解是________。

证明：=anxn+an—1xn—1+…+a1x+a0。

设B是三阶非零矩阵，且AB=0，则a=________。

设f（u，υ）具有连续偏导数，且fu’（u，υ）+fυ’（u，υ）=sin（12+υ）eu+υ，求y（x）=e—2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解是________。

已知函数f（x）满足方程f"（x）+f’（x）一2f（x）=0及f"（x）+f（x）=2ex。（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求曲线y=f（x2）∫0xf（一t2）dt的拐点。

(1)设y＝y(x)由方程ey＋6xy＋x2－1＝0确定，求y’’(0)．(2)设y＝y(x)是由exy－x＋y－2＝0确定的隐函数，求y’’(0)．

设y＝y(x)，z＝z(x)是由方程z＝xf(x＋y)和F(x，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．

曲线y＝(x－1)(x－2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．

在Access2010数据库中，数据保存在________对象中。

根据《继承法》的规定，下列哪些情形下，继承人一定丧失继承权()。

1990年12月19日和1991年7月3日，深圳证券交易所和上海证券交易所先后正式开业。()

人在明适应的过程中，感受性提高了。

【法兰西第三共和国】

一种产品的竞争优势并非长期固定在某一个特定的国家，而是从技术发明国转向生产成本较低的国家，描述这一现象的理论是()。[暨南大学2011国际商务硕士]

The1920s’advertisingmenwentwild______.Atypicalexampleof"createthewantsitsoughttosatisfy"is______.

NashvilleEaglesBowlingLeague"WeProduceChampions!"WeareSouthernTennessee’soldestsurvivingbowlingclub,withhundred

(98年)设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0．记n阶矩阵A＝αβT．求：(1)A2； (2)矩阵A的特征值和特征向量．

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