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设函数f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可微,且f′(x)≠0.证明存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得.
设函数f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可微,且f′(x)≠0.证明存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得.
admin
2019-08-11
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问题
设函数f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可微,且f′(x)≠0.证明存在ξ,η,ζ∈(a,b),使得
.
选项
答案
令g(x)=lnx,则g(x)与f(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件,故存在ξ∈(a, b),使得 [*][f(b)-f(a)], 从而 [*] 分别对g(x),f(x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理,则分别存在η,ζ∈(a,b)使得 [*] 将式②与式③代入式①得 [*]
解析
由ηf′(ζ)=ξf′(ξ)=
,应想到先对f(x)与g(x)=lnx使用柯西中值定理,产生一个中值ξ.再对这两个函数的差lnb—lna与f(b)一f(a)凑成可使用拉格朗日中值定理的形式,再分别使用该定理又可得到两个η与ζ.
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考研数学三
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