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  3. 已知三元二次型 XTAX＝x12＋ax22＋x32＋2x1x2＋2ax1x3＋2x2x3 的秩为2，则其规范形为＿＿＿＿＿＿＿＿。

已知三元二次型 XTAX＝x12＋ax22＋x32＋2x1x2＋2ax1x3＋2x2x3 的秩为2，则其规范形为＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2015-11-16  26
问题 已知三元二次型
    XTAX＝x12＋ax22＋x32＋2x1x2＋2ax1x3＋2x2x3
的秩为2，则其规范形为＿＿＿＿＿＿＿＿。
选项
答案y12－y32
解析 解  因，且r(A)＝2，故｜A｜＝0。易求得
｜A｜＝－(a＋2)(a－1)2。
于是由r(A)＝2知，a＝－2。由
    ｜λE－A｜＝λ(λ－3)(λ＋3)＝0
可知A的特征值为－3，0，3。在正交变换下该二次型的标准形为3y12－3y32，故其规范形为y12－y32。
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考研数学一

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