设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )

admin2019-07-12 62

问题设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案C

解析原方程可化为

=－1，其通解为
y=

=x+Cx²。
曲线y=x+Cx²与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
V(C)=π∫₀¹(x+Cx²)2dx=π

令V＇(C)=π

=0，得C=一

。
V＂(C)=

π>0．
故C=一

是唯一的极值点，则为最小值点，所以y=x一

x²，故选C。

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考研数学三

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