设F(X)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明在(a，b)内至少存在一点ζ，使f’(ζ)=一λf(ζ)，这里λ为任意实数．

admin2018-10-17 3

问题设F(X)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明在(a，b)内至少存在一点ζ，使f^’(ζ)=一λf(ζ)，这里λ为任意实数．

选项

答案将要证明的关系式写成 f^’(ζ)+λF(ζ)=0，作辅助函数 φ(x)=e^λxf(x)，容易验证φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，故存在ζ∈(a，b)，使φ^’(ζ)=0，即 e^λζ[f^’(ζ)+λf(ζ)]=0，亦即f^’(ζ)=一λf(ζ)．

解析

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高等数学二

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