n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2019-07-12 32

问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

选项 A、充分必要条件．
B、充分而非必要条件．
C、必要而非充分条件．
D、既非充分也非必要条件．

答案A

解析若A～A=

，则有可逆矩阵P使P^-1AP=A，或AP=PA．令P=[γ₁，γ₂，…，γ_n]，即
A[γ₁，γ₂，…，γ_n]=[γ₁，γ₂，…，γ₂]

=[a₁γ₁，a₂γ₂，…，a_nγ_n]
从而有Aγ_i=a_iγ_i， i=1，2，…，n
由P可逆，即有γ_i≠0，且γ₁，γ₂，…，γ_n线性无关．根据定义可知γ₁，γ₂，…，γ_n是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α₁，α₂，…，α_n，且满足
Aα_i=λ_iα_i， i=l，2，…，n
那么，用分块矩阵有

由于矩阵P=(α₁，α₂，…，α_N)可逆，所以P^-1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．

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考研数学三

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