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  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2018-03-30  36
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x，则在(一∞，+∞)上，当x≠0时，f(x)    (    )
选项 A、恒为正．
B、恒为负．
C、与x同号．
D、与x异号．
答案C
解析 作积分变量代换，令x—t=u，得
  f(x)=∫0xf(u)sin(x—u)d(—u)+x=∫0xf(u)sin(x—u)du+x
    =sin x．∫0xf(u)cos udu—cos x．∫0xf(u)sin udu+x，
f’(x)=cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．cos x．f(x)+sin x．∫0xf(u)sin udu—cos x．sin x．f(x)+1
    =cos x．∫0xf(u)cos udu+sin x．∫0xf(u)sin udu+1，
  f"(x)=一sin x．∫0xf(u)cos udu+cos2x．f(x)+cos x．∫0xf(u)sin udu+sin2x．f(x)
    =f(x)一f(x)+x=x．
  所以f(x)=+C1x+C2．又因f(0)=0，f(0)=1，所以C1=1，C2=0．
  从而f(x)=+1)，故应选C．
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考研数学三

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