设f(χ)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(χ)>0,F(χ)=∫-22|χ-t|f(t)dt,求F(χ)在[-2,2]上的最小值点.

admin2017-09-15  44

问题 设f(χ)为[-2,2]上连续的偶函数,且f(χ)>0,F(χ)=∫-22|χ-t|f(t)dt,求F(χ)在[-2,2]上的最小值点.

选项

答案F(χ)=∫-22|χ-t|f(t)dt=∫-2χ(χ-t)f(t)dt+∫χ2(χ-t)f(t)dt =χ∫-2χf(t)dt-∫-2χtf(t)dt-∫2χtf(t)dt+χ∫2χf(t)dt, F′(χ)=∫-2χf(t)dt+∫2χf(t)dt=∫-20f(t)dt+∫0χf(t)dt+∫20f(t)dt+∫0χf(t)dt, 因为∫-20f(t)dt=∫02f(t)dt,所以F′(χ)=2∫0χf(t)dt. 因为f(χ)>0,所以F′(χ)=0得χ=0, 又因为F〞(χ)=2f(χ),F〞(0)=2f(0)>0,所以χ=0为F(χ)在(-2,2)内唯一的极 小值点,也为最小值点.

解析
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