2. 公务员
  3. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x—y－2=0的距离为设P为直线l上的点，过P点作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． 当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x—y－2=0的距离为设P为直线l上的点，过P点作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． 当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

admin2019-06-01  18
问题 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x—y－2=0的距离为设P为直线l上的点，过P点作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
选项
答案由抛物线定义可知|AF|=y1+l，|BF|=y2+1，所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1联立方程[*]消去x整理得y2+(2y0－x02)y+y02=0，由－元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02－2y0，y1y2=y02，所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+l=y02+x02－2y0+l，又因为点P(x0，y0)在直线l上，所以x0=y0+2，所以y02+x02－2y0+1=2y02+2y0+5=[*]，所以当y0=－[*]时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为[*].
解析
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