设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)经初等行变换变为矩阵B=(β1,β2,β3,β4),且α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,α4线性相关,则( )。

admin2021-11-25  22

问题 设矩阵A=(α1234)经初等行变换变为矩阵B=(β1234),且α123线性无关,α1234线性相关,则(          )。

选项 A、β4不能由β123线性表示
B、β4能由β123线性表示,但表示法不唯一
C、β4能由β123线性表示,且表示法唯一
D、β4能否由β123线性表示不能确定

答案C

解析 因为α123线性无关,而α1234线性相关,所以α4可由α123唯一线性表示,又A=(α1234)经过有限次初等行变换为B=(β1234),所以方程组x1α1+x2α2+x3α34与x1β1+x2β2+x3β34是同解方程组,因为方程组x1α1+x2α2+x3α34有唯一解,所以方程组x1β1+x2β2+x3β34有唯一解,即β4能由β123线性表示,且表示法唯一。
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