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  3. 判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基： (Ⅰ)W1={(x，y，x)｜x＞0}； (Ⅱ)W2={x，y，z)｜x=0}； (Ⅲ)W3={(x，y，z)｜x+y－2z=0}； (Ⅳ)W4：{(x，y，z)｜3x－2y+z=

判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基： (Ⅰ)W1={(x，y，x)｜x＞0}； (Ⅱ)W2={x，y，z)｜x=0}； (Ⅲ)W3={(x，y，z)｜x+y－2z=0}； (Ⅳ)W4：{(x，y，z)｜3x－2y+z=

admin2016-10-26  30
问题 判断下列3维向量的集合是不是R3的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：
(Ⅰ)W1={(x，y，x)｜x＞0}；
(Ⅱ)W2={x，y，z)｜x=0}；
(Ⅲ)W3={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；
(Ⅳ)W4：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；
(Ⅴ)W5={(x，y，z｜}．
选项
答案(Ⅰ)W1不是子空间，因为W1对数乘向量不封闭．例如α=(1，2，3)∈W1，但k＜0时，kα=(k，2k，3k)[*]W1． (Ⅱ)W2是子空间．因为α=(0，a，b)，β=(0，c，d)∈W2，而 α+β=(0，a+c，b+d)∈W2， kα=(0，ka，kb)∈W2， 即W2对于运算封闭，W2是子空间．又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示W2中任一向量，因而是W2的一组基，那么dimW2=2． (Ⅲ)W3是子空间，如α，β∈W3，即α，β是齐次方程x+y一2z=0的解．由于α+β，kα仍是解，故α+β∈W3， kα∈W3，W3对运算封闭，是子空间． (－1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是W3的一组基，那么dimW3=2． (Ⅳ)W4不是子空间．因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即W4对加法不封闭． (Ⅴ)W5不是子空间，因为条件等同于[*]．
解析  要判断W是不是子空间，就是要检查W对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭．如W是子空间，则W中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数．
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