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(2003年试题,八)设函数f(x)连续且恒大于零,其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明当t>0时,.
(2003年试题,八)设函数f(x)连续且恒大于零,其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明当t>0时,.
admin
2013-12-27
48
问题
(2003年试题,八)设函数f(x)连续且恒大于零,
其中Ω(t)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
},D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
}.
证明当t>0时,
.
选项
答案
同理可得[*]欲证明当t>0时,[*]即[*]等价于证明[*]引入辅助函数g(t),令[*]由于[*]因此g(t)在(0,+∞)内单调递增,且g(t)在x=0处连续及g(0)=0,因而t>0时,g(t)>g(0)=0,综上可知[*]成立.
解析
当积分区域的边界函数和被积函数中含有因子x
2
+y
2
+z
2
时,常采用球坐标计算三重积分,它与直角坐标的关系为:
在球坐标系下,体积元dv=r
2
sinφdθdφdr.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/TfcRFFFM
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考研数学一
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