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  3. 求解差分方程3yx＋1一9yx＝x.3x＋1．

求解差分方程3yx＋1一9yx＝x.3x＋1．

admin2021-10-02  15
问题 求解差分方程3yx＋1一9yx＝x.3x＋1．
选项
答案先将方程化为标准方程 yx＋1－3yx＝x.3x， ① 其特征方程为λ－3＝0，得λ＝3．故齐次方程的通解为 [*]x＝C3x，C为任意常数． 由于非齐次项的底数为b＝3，b＝3是特征根，故可设方程①的特解为 [*]＝x(A0＋A1x).3x， 代入方程①得 (x＋1)[A0＋A1(x＋1)].3x＋1－3x(A0＋A1x).3x＝x.3x， 整理并比较两端同次幂的函数，得 [*] 解得 A0＝－1／6， A1＝1／6． 故一个特解为 [*]＝x(－1／6＋x／6).3x， 原方程的通解是(显然，①与原方程同解) yx＝[*]＋y*＝C3x＋x(－1／6＋x／6).3x． 注意 对形如yx＋1－ayx＝f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的步骤如下： (1)求解特征方程λ－a＝0，得到对应的齐次差方方程yx＋1－ayx＝0的通解[*]＝Cax，其中C为任意常数； (2)依据非齐次项f(x)的结构特点，设出特解形式，为方便计称b为f(x)的底数： ①若f(x)＝Axn(＝Axn.1x)，则 [*]
解析 将所给方程化为标准差分方程得到
yx＋1－3yx＝x.3x．
关键在于正确写出特解形式．因特征方程为λ－3＝0，故特征根为λ＝3，与底数b＝3相等，故该特解形式为
＝x(A0＋A1x).3x．
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考研数学三

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