已知抛物线y2=4x的焦点为F．求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足

admin2019-01-23 51

问题已知抛物线y²=4x的焦点为F．
求证：存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足

选项

答案由已知得，F的坐标为(1，0)．设过点P(a，0)的直线Z与抛物线的交点A、B的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，另设直线l的方程为x=my+a(a＞0)，则由[*]得，y²一4my一4a=0，因为直线l与已知抛物线有两个交点，故△=16m²一4×(一4a)=16(m²+a)＞0，且[*] 又因为[*]=(x₁一1，y₁)，[*]=(x₂一1，y₂)，则要证[*]=(x₁一1)(x₂—1)+y₁y₂=x₁x₂一(x₁+x₂)+1+y₁y₂＜0，而[*]，则上式化为[*][(y₁+y₂)²一2y₁y₂]+1+y₁y₂＜0 将[*]代入得，a²一6a+1＜4m²，又因为4m²≥0，故a²一6a+1＜4m²若想对于一切m均成立，则a²一6a+1＜0，由于△=(一6)²一4=32＞0，故存在正数a，使得过点P(a，0)且与已知抛物线有两个交点A、B的任一直线，均满足[*]

解析

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在同一平面内，相交的两条直线一定互相垂直．()

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