设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中 用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换;

admin2014-02-05  31

问题 设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中
用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换;

选项

答案由[*]知,矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.记[*]则Aα1=0=0α1,Aα2=0=0α2.由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重),α1,α2是λ=0的线性无关的特征向量.根据∑λi=∑aii,有0+0+λ3=1+4+1,故知矩阵A有特征值λ=6因此,矩阵A的特征值是0,0,6.设A=6的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,有[*]对α1,α2正交化,令β1=(1,0,1)T,则[*]再对β1,β2,α3单位化,得[*]那么经坐标变换x=Qy,即[*]二次型化为标准形xTAx=yTAy=6y32

解析
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