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试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根?分别在什么范围内?

admin2015-06-12  35
问题 试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根?分别在什么范围内?
选项
答案 问题中没有给出所要考察的区间，注意到函数中出现了因子(x-1)，(x-2)，(x-3)，可以先考察区间 [a，b]=[1，2]，此时 f(1)=(1-2)(1-3)=2＞0， f(2)=(2)-(3)(2-1)=-1＜0， 因此f(1).f(2)＜0，由零点定理可知在(1，2)内必定存在一点x1，使f(x1)=0。 同样，考察[a，b]=[2，3]，此时f(3)=(3-1)(3-2)=2＞0， f(2)=(2-3)(2-1)=-1＜0， 因此f(3).f(2)＜0，由零点定理可知在(2，3)内必定存在一点x2，使f(x2)=0且x1＜x2。 又由于f(x)为二次函数，而二次方程f(x)=0至多有两个实根，因此可知x1，x2即为所给方程的两个实根，且分别在(1，2)与(2，3)内。
解析 所给问题为判定方程根的存在性与范围问题．可以考虑利用闭区间上连续函数的零点定理，为此先构造连续函数f(x)=(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)。
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