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[2003年] 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设
[2003年] 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设
admin
2019-04-17
70
问题
[2003年] 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
求曲线x=φ(y)的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分钟)
选项
答案
液面的高度为y时,液体的体积为π∫
0
y
φ
2
(y)dy=3t=3φ
2
(y)一12.该式两边对y求导,得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ′(y), 即 πφ(y)=6φ′(y). 解此微分方程,得φ(y)=C[*],其中C为任意常数,由φ(0)=2知C=2.故所求曲线方程为 x=2[*].
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/RnLRFFFM
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考研数学二
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