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设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab≠0,证明 (1)A—bE和B—aE都可逆. (2)AB=BA.
设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab≠0,证明 (1)A—bE和B—aE都可逆. (2)AB=BA.
admin
2018-11-20
29
问题
设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab≠0,证明
(1)A—bE和B—aE都可逆.
(2)AB=BA.
选项
答案
(1)A一bE和B一aE都可逆[*](A—bE)(B—aE)可逆.直接计算(A一bE)(B一aE). (A—bE)(B一aE)=AB—aA—bB+abe=abE. 因为ab≠0,得(A一bE),(B—aE)可逆. (2)利用等式(A—bE)(B—aE)=abE,两边除以ab,得 [*] 再两边乘ab,得(B一aE)(A一bE)=abE,即 BA—aA一Bb+abE=abE. BA=aA+bB=AB.
解析
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考研数学三
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