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设f(χ)在[1,+∞)内可导,f′(χ)<0且,f(χ)=a>0,令an=f(k)-∫1nf(χ)dχ.证明:(an)收敛且0≤≤f(1).
设f(χ)在[1,+∞)内可导,f′(χ)<0且,f(χ)=a>0,令an=f(k)-∫1nf(χ)dχ.证明:(an)收敛且0≤≤f(1).
admin
2017-09-15
40
问题
设f(χ)在[1,+∞)内可导,f′(χ)<0且,
f(χ)=a>0,令a
n
=
f(k)-∫
1
n
f(χ)dχ.证明:(a
n
)收敛且0≤
≤f(1).
选项
答案
因为f′(χ)<0,所以f(χ)单调减少. 又因为a
n+1
-a
n
=f(n+1)-∫
n
n+1
f(χ)dχ=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]), 所以{a
n
}单调减少. 因为a
n
=[*][f(k)-f(χ)]dχ+f(n),而∫
k
k+1
[f(k)-f(χ)]dχ≥0(k=1,2,…,n-1) 且[*]f(χ)=a>0,所以存在X>0,当χ>X时,f(χ)>0. 由f(χ)单调递减得f(χ)>0(χ∈[1,+∞)),故a
n
≥f(n)>0,所以[*]存在. 由a
n
=f(1)+[f(2)-∫
1
2
f(χ)dχ]+…+[f(n)-∫
n-1
n
f(χ)dχ], 而f(k)=∫
k-1
k
f(χ)dχ≤0(k=2,3,…,n),所以a
n
≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).
解析
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