在旋转椭球面上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。

admin2018-12-27 33

问题在旋转椭球面

上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。

选项

答案设内接长方体在第一象限内的顶点为A(x，y，z)，则长方体的体积为V=8xyz，其中A(x，y，z)的坐标满足[*] 方法一：由方程[*]得[*]从而把三元函数V=8xyz求最大值的问题化为求下述二元函数求最大值的问题： [*] 等式两边分别对x和y求偏导，得方程组 [*] 解得[*]并且点[*]是函数V(x，y)在定义域内的唯一驻点，且由实际问题的性质知，体积最大的内接长方体一定存在，所以[*]就是V(x，y)的最大值点。因此当长方体的长、宽、高分别取[*]时，内接长方体的体积最大。方法二：引入拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=8xyz+λ(x²+y²+[*]－1)。令[*] 由方程组的前3个方程解得[*]将它们都代入第4个方程解得[*]于是[*]此时内接长方体的体积最大。

解析

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考研数学一

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