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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a、b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵

设二次型f(x1，x2，x3)=XTA X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (1)求a、b的值； (2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵

admin2018-08-02  50
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTA
X=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a、b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案(1)f的矩阵为A=[*]，由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，及λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2． (2)正交矩阵P=[*]，可使PTAP=[*]，故在正交变换[*]下，f的标准形为f=2y12+2y22-3y32．
解析
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考研数学二

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