已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

admin2015-08-17 19

问题已知

α₁是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α₂，α₃是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )

选项 A、[α₁，α₂，α₃]
B、[α₁，α₂+α₃，α₂—2α₃]
C、[α₁，α₃，α₂]
D、[α₁+α₂，α₁一α₂，α₃]

答案D

解析若

则有AP=PA，即

即 [Aα₁,Aα₂,Aα₃]=[aα₁,aα₂,aα₃]．可见啦是矩阵A属于特征值α_i的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此，α₁,α₂,α₃线性无关．若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故A正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k₁α+k₂β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α₂，α₃是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α₂+α₃，α₂—2α₃仍是λ=6的特征向量，并且α₂+α₃，α₂—2α₃线性无关，故B正确．关于C，因为α₂，α₃均是λ=6的特征向量，所以α₂，α₃谁在前谁在后均正确．即C正确．由于α₁，α₂是不同特征值的特征向量，因此 α₁+α₂，α₁一α₂不再是矩阵A的特征向量，故D错误．

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考研数学一

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