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  3. 证明：若f(x)≥0，其中x∈(a，b)，且f”’(x)存在，f(x)=0有两个相异实根，则存在c∈(a，b)，使得f”’(c)=0．

证明：若f(x)≥0，其中x∈(a，b)，且f”’(x)存在，f(x)=0有两个相异实根，则存在c∈(a，b)，使得f”’(c)=0．

admin2022-11-23  13
问题 证明：若f(x)≥0，其中x∈(a，b)，且f”’(x)存在，f(x)=0有两个相异实根，则存在c∈(a，b)，使得f”’(c)=0．
选项
答案∵f(x)=0在区间(a，b)中有两个相异实根，∴[*]x1，x2∈(a，b)，x1＜x2使得f(x1)=f(x2)=0．又f(x)≥0，[*]x∈(a，b)，故x1，x2必然是f(x)的局部极小值点．由费马定理可得f’(x1)=f’(x2)=0．由于f”’(x)存在，故f”(x)，f’(x)存在且f”(x)，f’(x)，f(x)均在(a,b)连续． 在[x1，x2][*](a，b)内使用罗尔定理，[*]ξ∈(x1，x2)，使得f’(ξ)=0．同理，[*]ξ1∈(x1，ξ)，ξ2∈(ξ，x2)，使得f”(ξ1)=f”(ξ2)=0．再次使用罗尔定理，[*]c∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得f”’(c)=0．
解析
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考研数学一

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