[2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2).

admin2019-06-09 53

问题 [2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限

存在，证明：
在(a，b)内存在点ξ，使(b²－a²)

选项

答案下面用柯西中值定理证之．设F(x)=x²，g(x)=∫_a^xf(x)dt(a≤x≤b)，则g′(x)=f(x)＞0，故F(x)，g(x)满足该定理的条件．于是在(a，b)内存在点ξ，使 [*]

解析注意到增量比

的形式，应想到对F(x)=x²，g(x)=∫_a^xf(f)dt在[a，b]上使用柯西中值定理.

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考研数学二

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