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设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为
设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为
admin
2012-09-06
32
问题
设A为4×3矩阵,η
1
,η
2
,η
3
是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k
1
,k
2
为任意常数,则Ax=β的通解为
选项
A、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
B、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
C、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
D、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
答案
C
解析
分析一 因为η
1
,η
2
,η
3
足Ax=β的3个线性无关的解,那么η
2
-η
1
,η
3
-η
1
是Ax=0的2个线性无关的解.从而n-r(A)≥2,即3-r(A)≥2 r(A)≤1.
显然r(A)≥l,凶此r(A)=1.
由n-r(A)=3-1=2,知(A)、(B)均不正确.
又A(η
2
+η
3
)/2=1/2η
2
+1/2Aη
3
=β,故1/2(η
2
+η
3
)是方程组Ax=β的解.所以应选(C),
注意:1/2(η
2
+η
3
)是齐次方程组Ax=0的解.
分析二 用排除法(η
2
+η
3
)/2三是齐次线性方程组Ax=0的解,所以可排除选项(B),(D);又η
2
-η
1
,η
3
-η
1
线性无关,所以Ax=0的基础解系至少包含2个解向量,从而可排除选项(A).因此应选(C).
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考研数学三
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