设f(x)，g(x)均为[a，b]上的连续增函数(a，b＞0)，证明 ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx

admin2019-06-30 20

问题设f(x)，g(x)均为[a，b]上的连续增函数(a，b＞0)，证明
∫_a^bf(x)dx∫_a^bg(x)dx≤(b一a)∫_a^bf(x)g(x)dx

选项

答案令F(x)=∫_a^xf(t)dt∫_a^xg(t)dt一(x一a)∫_a^xf(t)g(t)dt，则：F’(x)=f(x)∫_a^xg(t)dt+g(x)∫_a^xf(t)dt—∫_a^xf(t)g(t)dt一(x一a)f(x)g(x) =∫_a^x[fx)g(t)+g(x)f(t)一f(t)g(t)一f(x)g(x)]dt =一∫_a^x[f(x)一f(t)][g(x)一g(t)]dt 由于f(x)，g(x)均为[a，b]上的连续增函数，则 f(x)≥f(t)，g(x)≥g(t)(t∈(a，x)),F’(x)＜0 即F(x)在[a，b]上为单调减函数而F(a)=0，所以F(b)≤F(a)=0 即∫_a^bf(x)dx∫_a^bg(a)dx≤(b一a)∫_a^bf(x)g(x)dx

解析

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