设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP，其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

admin2015-09-14 37

问题设

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算P^TDP，其中

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论。

选项

答案[*] (Ⅱ)矩阵B一C^TA^-1C是正定矩阵。证明如下：由(Ⅰ)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵。因矩阵M为对称矩阵，故B一C^TA^-1C为对称矩阵。对[*]及任意的Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，由M正定，有 [*] 即Y^T(B—C^TA^-1C)Y＞0．故B—C^TA^-1C为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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