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设f(x)有一阶连续导数,且2∫0x(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x2-1,求f(x)表达式.
设f(x)有一阶连续导数,且2∫0x(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x2-1,求f(x)表达式.
admin
2022-07-21
29
问题
设f(x)有一阶连续导数,且2∫
0
x
(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x
2
-1,求f(x)表达式.
选项
答案
将x=0代入等式得f(0)=1.由 ∫
0
x
(x+1-t)f’(t)dt=(x+1)∫
0
x
f’(t)dt-∫
0
x
tf’(t)dt =(x+1)(f(x)-1)-∫
0
x
tf’(t)dt 代入原等式,得2(x+1)[f(x)-1]-2∫
0
x
tf’(t)dt-f(x)=x
2
-1. 两边关于x求导,得f’(x)+2f(x)=2x+2.因此求得通解为 f(x)=e
-2x
[∫(2x+2)e
2x
dx+C]=[*]+x+Ce
-2x
由初值f(0)=1,得f(x)=[*]+x+[*]e
-2x
.
解析
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0
考研数学二
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