假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?

admin2016-09-19 48

问题假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?

选项

答案根据条件随机变量X的概率密度为 [*] 以Y=P(h)表示“销售利润”，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件知 [*] 为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望．为此，首先注意到： a＜h＜b，销售利润Y=P(h)的数学期望为 EY=E[P(h)]=∫_a^h[sx－(h－x)t]f(x)dx+∫_h^bshf(x)dx =∫_a^h[(s+t)x－ht]f(x)dx+sh∫_h^bf(x)dx =(s+t)∫_a^hxf(x)dx－ht∫_a^hf(x)dx+sh[1－∫_a^hf(x)dx] =(s+t)[∫_a^hxf(x)dx－h∫_a^hf(x)dx]+sh．对h求导并令其等于0，得 [*]=(s+t)[hf(h)－hf(h)－∫_a^hf(x)dx]+s=－(s+t)∫_a^hf(x)dx+s=0， ∫_a^hf(x)dx=[*] 于是，季初安排h₀千克商品，可以使期望销售利润最大．

解析

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考研数学三

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假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?

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