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  3. 已知矩阵A=相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．

已知矩阵A=相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2017-10-25  25
问题 已知矩阵A=相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．
选项
答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*]，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)=2， ｜A｜=[*]=-(a+2)(a-1)2=0， 所以a=-2，或a=1，又a=1时，显然R(A)=1，故只取a=-2． (Ⅱ)此时｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0． 当λ1=3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α1=(1，0，1)T； 当λ2=-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α2=(1，-2，-1)T； 当λ3=0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α3=(1，1，-1)T． 将α1，α2，α3单位化，得 [*] 故有正交阵 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y1-1-3y2-1. (Ⅲ)由于x=Qy，可知xTx=(Qy)TQy=yTQTQy=yTy． 因此限制条件xTx=2也等价于yTy=y12+y22+y32=2． 由于二次型为3y12-3y22，易知其在y12+y22+y32=2时，最大值为6，最小值为-6．
解析 先根据惯性指数求得a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f的最值．
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