2. 考研
  3. 已知αi＝(ai1，ai2，aim)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关． 已知β＝(b1，b2，…，bm)T是线性方程组的非零解向量． 试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

已知αi＝(ai1，ai2，aim)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关． 已知β＝(b1，b2，…，bm)T是线性方程组的非零解向量． 试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2017-06-26  26
问题 已知αi＝(ai1，ai2，aim)T(i＝1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．
    已知β＝(b1，b2，…，bm)T是线性方程组的非零解向量．
    试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案由题设条件有βTαi＝0(i＝1，2，…，r)．设 k1α1＋…＋krαr＋kr+1β＝0 (*) 两端左乘βT，得kr+1βTβ＝0，又β≠0，[*]βTβ＝‖β‖2＞0，故kr+1＝0 代入(*)式，得k1α1＋…＋krαr＝0，又α1，…，αr线性无关，所以有k1＝…＝kr，＝0，因此α1，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学三

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