2. 考研
  3. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．

admin2021-01-19  32
问题 设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．
选项
答案一1．
解析 由A≠0，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得

及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：
方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得
AA*=一(A*)AT=一(AA*)T=一(|A|I)T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
|A|2=(一1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=一1．
方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用|A*|= |A|2，得
|A|= (一1)3 |A*|=一|A|2，或|A| (1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=一1．
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考研数学二

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