2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1， 其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1， 其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。

admin2018-02-07  23
问题 设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，
β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，
其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。 从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n一r(A)。 以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件： 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即 (t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks－1+t1ks)αs=0， 由于α1，α2，…，αs线性无关，所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*]=t1s+(一1)s＋1t2s， 当t1s+(一1)s＋1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ax=O的一个基础解系。
解析
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考研数学二

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