2. 考研
  3. 设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，

设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，

admin2021-11-09  26
问题 设y＝f(χ)为区间[0，1]上的非负连续函数．
    (1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y＝f(χ)为曲边的曲边梯形的面积；
    (2)设f(χ)在(0，1)内可导，且f′(χ)＞－，证明(1)中的c是唯一的．
选项
答案(1)S1(c)＝cf(c)，S2(c)＝∫c1f(t)dt＝－∫1cf(t)dt， 即证明S1(c)＝S2(c)，或cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0． 令φ(χ)＝χ∫1χf(t)dt，φ(0)＝φ(1)＝0， 根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ′(c)＝0，即cf(c)＋∫1cf(t)dt＝0，所以S1(c)＝S2(c)，命题得证． (2)令h(χ)＝χf(χ)－∫χ1f(t)dt，因为h′(χ)＝2f(χ)＋χf′(χ)＞0，所以h(χ)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
解析
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考研数学二

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