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证明导函数的中间值定理(达布定理)：设函数f(x)在区间[a，b]上可导(注意：不要求导函数f’(x)在区间[a，b]上连续!)，则对于任何满足min{f’(a)，f’(b)}≤μ≤max{f’(a)，f’(b)}的常数μ，存在ξ∈[a，b]使得f’(ξ)

admin2015-04-30  27
问题 证明导函数的中间值定理(达布定理)：设函数f(x)在区间[a，b]上可导(注意：不要求导函数f’(x)在区间[a，b]上连续!)，则对于任何满足min{f’(a)，f’(b)}≤μ≤max{f’(a)，f’(b)}的常数μ，存在ξ∈[a，b]使得f’(ξ)=μ．
选项
答案若f’(a)=f’(b)，则取ξ=a或ξ=b即可．若f’(a)≠f’(b)，为了确定起见，无妨设f’(a)＞f’(b)(对f’(a)＜f’(b)的情形可类似证明)．当μ=f’(a)或μ=f’(b)时相应取ξ=a或ξ=b即可．从而只需证明μ介于f’(a)与f’(b)之间的情形定理的结论也成立． 引入辅助函数F(x)=f(x)一μ(x一a)，则F’(a)=f’(a)一μ＞0，由导数的定义即得 [*]，从而存在x1∈(a，b)使得[*]，于是F(x1)＞F(a)，这表明F(a)不是F(x)在[a，b]上的最大值．此外还有F’(b)=f’(b)一μ＜0，同样由导数定义得[*]，从而存在x2∈(x1，b)使得[*]，于是F(x2)＞F(b)，这表明F(b)也不是F(x)在[a，b]上的最大值． 综上所述即知必存在ξ∈(a，b)使得F(ξ)是F(x)在[a，b]上的最大值，由F(x)的可导性必有F’(ξ)=0即f’(ξ)=μ．类似可证，在相反的情形下必存在ξ∈(a，b)使得F(ξ)是F(x)在[a，b]上的最小值，由F(x)的可导性也有F’(ξ)=0即f’(ξ)=μ成立．
解析
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考研数学三

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