求幂级数1+(－1)nx2n／2n(|x|＜1)的和函数f(x)及其极值。

admin2018-03-30 31

问题求幂级数1+

(－1)ⁿx²ⁿ／2n(|x|＜1)的和函数f(x)及其极值。

选项

答案先对和函数f(x)=1+[*](－1)ⁿx²ⁿ／2n(|x|＜1)求导，有f’(x)=[*](－1)ⁿx^2n－1=x[*](－1)ⁿx^2n－2=－x[*](－1)ⁿx²ⁿ=－x[*](－x²)ⁿ=－x．[*] 对上式两边从0到x积分得， ∫₀^xf’(t)dt=－∫₀^x[*]f(x)－f(0)=－1／2ln(1+x²)，由f(0)=1，得f(x)=1－[*]ln(1+x²)(|x|＜1)。接下来求和函数的极值，对f(x)求一阶导数，得f’(x)=－[*]，令f’(x)=0，可得唯一驻点x=0，由于f"(x)=－[*]，则f"(0)=－1＜0，由极值的第二充分条件，得f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1。

解析

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