设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫0χ(χ－t)y(t)y′(t)dt．求y(χ)．

admin2019-06-29 29

问题设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫₀^χ(χ－t)y(t)y′(t)dt．
求y(χ)．

选项

答案对所给方程变形 y(χ)＝－1＋χ＋2χ∫₀^χy(t)y′(t)dt－2∫₀^χty(t)y′(t)dt．方程两端对χ求导，得 y′(χ)＝1＋2∫₀^χy(t)y′(t)dt，继续求导，得 y〞(χ)＝2y(χ)y′(χ)，且y(0)＝－1，y′(0)＝1．微分方程不显含自变量χ，令P＝y′，方程可化为 P[*]＝2py，这是自变量可分离的微分方程，求得通解为 P＝y²＋c₁，即y′＝y²＋c₁，由y(0)＝－1，y′(0)＝1可得，c₁＝0，从y′＝y²，所以y＝－[*]．再由y(0)＝－1，得c₂＝1，故函数y＝－[*]．

解析

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考研数学二

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