设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.

admin2012-04-22  75

问题 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:
对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.

选项

答案要证f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1,即要证[f’(ξ)-1]-λ[f(ξ)-ξ]=0,记φ(x)=f(x)-x,也就是要证φ’(f)-λφ(ξ)=0. 构造辅助函数F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)-x],不难发现F(x)在[0,η]上满足尔尔定理的全部条件,故存在ξ∈(0,η),使F’(ξ)=0,即e-λx[φ’(ξ)-λφ(ξ)]=0,而e-λx≠0,从而有φ’(ξ)-λφ(ξ)=0,即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.

解析
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