曲面S:,平面P:Ax+By+D=0.其中abc≠0,A,B,C不同时为零.讨论并回答下述问题: S是否存在与P平行的切平面,并请推导出存在这种切平面的充要条件. 当存在时,请区分出是存在唯一一个,还是正好两个,还是可以多于两个.

admin2019-01-24  22

问题 曲面S:,平面P:Ax+By+D=0.其中abc≠0,A,B,C不同时为零.讨论并回答下述问题:
S是否存在与P平行的切平面,并请推导出存在这种切平面的充要条件.
当存在时,请区分出是存在唯一一个,还是正好两个,还是可以多于两个.

选项

答案设切点为Q(x0,y0,z0),于是曲面S在点Q处的法向量为 [*] 又由于曲面S在点Q处的切平面平行于平面P,则有 [*] 在上式中,如果当A,B,C中有为0的项时,则认为对应的分子也为0.于是 x0=a2At,y0=b2Bt,z0=-c2Ct, 因此将点(x0,y0,z0)代入曲面S的方程,得 [*] (a2A2+b2B2-c2C2)t2=-1. 则上述方程有解的充要条件是 c2C2-a2A2-b2B2>0. ① 所以当 c2C2-a2A2-b2B2≤0 时,经过点Q不存在与P平行的切平面. 当①式成立时,有 [*] 其中 当[*]时,切点Q为[*],切平面方程为 [*] 化简即为 Ax+By+Cz+k=0. ② 当[*]时,切点Q为[*],切平面方程为 [*] 化简即为 Ax+By+Cz-k=0. ③ 因为k>0,所以k≠-k,所以②与③不是同一张平面,点[*]不在③上,点[*]不在②上. 故结论是:曲面S存在与平面P平行的切平面的充要条件是c2C2-a2A2-b2B2>0.当存在时,必是存在两个不同的切平面与平面P平行.既不存在唯一一个,也不存在多于两个与平面P平行的切平面.

解析
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