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曲面S:,平面P:Ax+By+D=0.其中abc≠0,A,B,C不同时为零.讨论并回答下述问题: S是否存在与P平行的切平面,并请推导出存在这种切平面的充要条件. 当存在时,请区分出是存在唯一一个,还是正好两个,还是可以多于两个.
曲面S:,平面P:Ax+By+D=0.其中abc≠0,A,B,C不同时为零.讨论并回答下述问题: S是否存在与P平行的切平面,并请推导出存在这种切平面的充要条件. 当存在时,请区分出是存在唯一一个,还是正好两个,还是可以多于两个.
admin
2019-01-24
22
问题
曲面S:
,平面P:Ax+By+D=0.其中abc≠0,A,B,C不同时为零.讨论并回答下述问题:
S是否存在与P平行的切平面,并请推导出存在这种切平面的充要条件.
当存在时,请区分出是存在唯一一个,还是正好两个,还是可以多于两个.
选项
答案
设切点为Q(x
0
,y
0
,z
0
),于是曲面S在点Q处的法向量为 [*] 又由于曲面S在点Q处的切平面平行于平面P,则有 [*] 在上式中,如果当A,B,C中有为0的项时,则认为对应的分子也为0.于是 x
0
=a
2
At,y
0
=b
2
Bt,z
0
=-c
2
Ct, 因此将点(x
0
,y
0
,z
0
)代入曲面S的方程,得 [*] (a
2
A
2
+b
2
B
2
-c
2
C
2
)t
2
=-1. 则上述方程有解的充要条件是 c
2
C
2
-a
2
A
2
-b
2
B
2
>0. ① 所以当 c
2
C
2
-a
2
A
2
-b
2
B
2
≤0 时,经过点Q不存在与P平行的切平面. 当①式成立时,有 [*] 其中 当[*]时,切点Q为[*],切平面方程为 [*] 化简即为 Ax+By+Cz+k=0. ② 当[*]时,切点Q为[*],切平面方程为 [*] 化简即为 Ax+By+Cz-k=0. ③ 因为k>0,所以k≠-k,所以②与③不是同一张平面,点[*]不在③上,点[*]不在②上. 故结论是:曲面S存在与平面P平行的切平面的充要条件是c
2
C
2
-a
2
A
2
-b
2
B
2
>0.当存在时,必是存在两个不同的切平面与平面P平行.既不存在唯一一个,也不存在多于两个与平面P平行的切平面.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/O91RFFFM
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考研数学一
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